多項式の展開と因数分解の予想問題5問——符号と公式のミスを1問ずつ解説
多項式の展開と因数分解は中3で最初に習う単元で、数学の計算問題だけでなく、二次方程式や式の値の問題でも使われる土台になります（回ごとの範囲は → テスト範囲）。乗法公式を覚えていても、符号や係数の2乗、共通因数のくくり忘れでミスが起きやすい単元です。展開2問・因数分解2問・式の値の5問にしぼり、まちがえやすいところを1問ずつ解説しました。
- (x + a)(x + b) ＝ x² + (a + b)x + ab。x の係数はたし算、定数項はかけ算
- (x ± y)² ＝ x² ± 2xy + y²。真ん中の項を忘れない
- 因数分解は「かけて〜、たして〜」の2数を、かけ算の組から探す
- 因数分解は、まず共通因数をくくり出す。最後まで分解する
- 式の値は、先に因数分解してから代入すると楽になる
問題（まず自分で解いてみよう）
- (x + 5)(x − 3) を展開しなさい。
- (2a − 3b)² を展開しなさい。
- x² − 7x + 12 を因数分解しなさい。
- 3x² − 12 を因数分解しなさい。
- x ＝ 27 のとき、x² − 6x + 9 の値を求めなさい。
目安：1問3〜4分。解き終わったら、下の「答えと解説を見る」を開いて確かめましょう。
答えと解説
問題1
(x + 5)(x − 3) を展開しなさい。
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答え：x² + 2x − 15
考え方：乗法公式 (x + a)(x + b) ＝ x² + (a + b)x + ab を使います。ここでは a ＝ 5、b ＝ −3 です。
解き方：a + b ＝ 5 + (−3) ＝ 2、ab ＝ 5 × (−3) ＝ −15。よって x² + 2x − 15。
よくあるミス：① −3 の符号を落として、ab を +15 としてしまうミス。b ＝ −3 とかっこごと考えます。② x の係数を 5 × (−3) のようにかけ算で出してしまうミス。x の係数は「たし算」、定数項は「かけ算」です。
確かめ：分配法則で一つずつかけると、x² − 3x + 5x − 15 で、まとめると x² + 2x − 15 になり同じです。
問題2
(2a − 3b)² を展開しなさい。
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答え：4a² − 12ab + 9b²
考え方：乗法公式 (x − y)² ＝ x² − 2xy + y² を使います。x にあたるのが 2a、y にあたるのが 3b です。
解き方：(2a)² − 2 × 2a × 3b + (3b)² ＝ 4a² − 12ab + 9b²。
よくあるミス：① 4a² + 9b² のように、真ん中の項（−12ab）を忘れるミス。(x − y)² は x² − y² ではありません。② (2a)² を 2a² としてしまうミス。係数の 2 も2乗して 4 になります。③ 真ん中の項の「2倍」を忘れて −6ab とするミス。
確かめ：(2a − 3b)(2a − 3b) を分配法則で展開すると、4a² − 6ab − 6ab + 9b² ＝ 4a² − 12ab + 9b² で同じになります。
問題3
x² − 7x + 12 を因数分解しなさい。
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答え：(x − 3)(x − 4)
考え方：x² + (a + b)x + ab ＝ (x + a)(x + b) を逆向きに使います。かけて 12、たして −7 になる2つの数を探します。
解き方：かけて 12 になる組のうち、たして −7 になるのは −3 と −4。よって (x − 3)(x − 4)。
よくあるミス：① かけて 12 を先に探さず、たして 7 になる 3 と 4 を選んで (x + 3)(x + 4) としてしまうミス。たして −7 なので2つとも負の数です。② 先に「たして〜」から探して組を見落とすミス。かけ算の組のほうが少ないので、かけ算から探すと速く確実です。
確かめ：(x − 3)(x − 4) を展開すると、x² + (−3 − 4)x + (−3) × (−4) ＝ x² − 7x + 12 で、もとの式にもどります。
問題4
3x² − 12 を因数分解しなさい。
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答え：3(x + 2)(x − 2)
考え方：因数分解は、まず共通因数をくくり出すのが先です。そのあとかっこの中を公式 x² − a² ＝ (x + a)(x − a) で分解します。
解き方：3x² − 12 ＝ 3(x² − 4)。x² − 4 ＝ x² − 2² ＝ (x + 2)(x − 2)。よって 3(x + 2)(x − 2)。
よくあるミス：① 3(x² − 4) で止めてしまうミス。かっこの中がまだ因数分解できるので、最後まで分解します。② 共通因数の 3 をくくり出さずに、(√3x + √12)(…) のように考えて行きづまるミス。③ 3 を書き忘れて (x + 2)(x − 2) と答えるミス。
確かめ：3(x + 2)(x − 2) を展開すると 3(x² − 4) ＝ 3x² − 12 で、もとの式にもどります。
問題5
x ＝ 27 のとき、x² − 6x + 9 の値を求めなさい。
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答え：576
考え方：そのまま代入すると 27² などの大きな計算になります。先に因数分解してから代入すると、計算がずっと楽になります。
解き方：x² − 6x + 9 ＝ (x − 3)²。x ＝ 27 を代入すると (27 − 3)² ＝ 24² ＝ 576。
よくあるミス：① (x − 3)² を (x − 3)(x + 3) と取りちがえて、24 × 30 としてしまうミス。② そのまま代入して、27² − 6 × 27 + 9 の計算の途中でまちがえるミス。式の値の問題は、まず式を簡単にできないか考えましょう。
確かめ：そのまま代入すると、27² は 729、6 × 27 は 162 なので、729 − 162 + 9 ＝ 576 になり、同じ値です。
乗法公式と因数分解の公式の表
| 展開（左 → 右） | 因数分解（右 → 左） | 気をつけること | この記事の問題 |
|---|---|---|---|
| (x + a)(x + b) | x² + (a + b)x + ab | 符号ごと a・b を考える | 問題1・3 |
| (x + y)² | x² + 2xy + y² | 真ん中は 2 倍 | 問題5 |
| (x − y)² | x² − 2xy + y² | 係数も2乗する | 問題2・5 |
| (x + a)(x − a) | x² − a² | 共通因数を先にくくる | 問題4 |
迷ったときの手順
- 展開か因数分解か、問題の指示を確かめる
- 因数分解なら、まず全部の項に共通な数や文字がないか見る
- どの公式の形か（2乗の差・平方・「かけて〜たして〜」）を見分ける
- 答えを展開して、もとの式にもどるか確かめる
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よくある質問
展開と因数分解はどういう関係ですか？
展開はかっこをはずして和の形にすること、因数分解は和の形をかけ算（積）の形にもどすことで、たがいに逆の操作です。因数分解した答えは、展開してもとの式にもどるかで確かめられます。
因数分解で「かけて〜、たして〜」の数はどうやって探しますか？
先に「かけて定数項になる2数の組」を全部書き出し、その中から「たしてxの係数になる組」を選びます。かけ算の組のほうが数が少ないので、もれなく探せます。
因数分解で最初にすることは何ですか？
すべての項に共通な因数（数や文字）がないかを見て、あればくくり出します。そのあと、かっこの中を公式で分解します。
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