三平方の定理の予想問題5問——斜辺と比のミスを1問ずつ解説

答え：斜辺は13cm

考え方：三平方の定理は、直角三角形の直角をはさむ2辺を a、b、斜辺を c とすると a² + b² ＝ c² が成り立つ、というものです。斜辺は直角の向かいにあるいちばん長い辺です。

解き方：5² + 12² ＝ c² → 25 + 144 ＝ c² → c² ＝ 169。c ＞ 0 なので c ＝ 13。斜辺は 13cm。

よくあるミス：① 5 + 12 ＝ 17 のように、2乗せずにたしてしまうミス。② c² ＝ 169 で止めて、169cm と答えるミス。最後に平方根をとります。

確かめ：13 は 5 や 12 より長く、斜辺がいちばん長いことと合います。また 13² は 169 で、5² と 12² の和の 169 と等しくなります。

答え：残りの辺は3√5cm

考え方：わかっているのが斜辺のときは、斜辺の2乗から、もう1辺の2乗を引きます。残りの辺を x とすると 6² + x² ＝ 9² です。

解き方：x² ＝ 9² − 6² ＝ 81 − 36 ＝ 45。x ＞ 0 なので x ＝ √45 ＝ 3√5。残りの辺は 3√5cm。

よくあるミス：① 9 を斜辺だと見落として 6² + 9² ＝ 117 とし、√117 としてしまうミス。どれが斜辺かを最初に確かめます。② √45 を a√b の形に直さずに答えるミス。√45 ＝ √(3² × 5) ＝ 3√5 です。

確かめ：(3√5)² は 9 × 5 で 45。これに 6² の 36 をたすと 81 になり、9² と等しくなります。3√5 はおよそ 6.7 で、斜辺の 9 より短いことも合っています。

答え：短い辺は5cm、長い辺は5√3cm

考え方：30°、60°、90° の直角三角形の3辺の比は 1 : √3 : 2（短い辺 : 長い辺 : 斜辺）です。いちばん短い辺は 30° の角の向かいの辺です。

解き方：斜辺 10 が比の 2 にあたるので、比の 1 は 5。短い辺は 5cm、長い辺は 5 × √3 で 5√3cm。

よくあるミス：① 比を 1 : 2 : √3 の順で覚えてしまい、斜辺を 5√3 側にするミス。いちばん長い斜辺が 2 です（√3 はおよそ 1.73 なので 2 より小さい）。② 45°、45°、90° の比（1 : 1 : √2）と混同するミス。

確かめ：5² は 25、(5√3)² は 75 で、たすと 100。これは斜辺 10 の2乗と等しく、三平方の定理が成り立っています。

答え：5

考え方：2点を結ぶ線分を斜辺とし、x 方向と y 方向の差を2辺とする直角三角形をつくって、三平方の定理を使います。

解き方：x 座標の差は 3 − (−1) ＝ 4、y 座標の差は 5 − 2 ＝ 3。AB² ＝ 4² + 3² ＝ 16 + 9 ＝ 25。AB ＞ 0 なので AB ＝ 5。

よくあるミス：① x 座標の差を 3 − 1 ＝ 2 としてしまう符号ミス。3 − (−1) ＝ 4 です。② 差を2乗せずに 4 + 3 ＝ 7 としてしまうミス。

確かめ：方眼に点をとると、A から右へ4、上へ3 進むと B に着きます。辺の長さが 3、4 の直角三角形の斜辺なので、5 になります。

答え：対角線は13cm

考え方：直方体の対角線は、まず底面の対角線を求め、それと高さを2辺とする直角三角形で三平方の定理をもう一度使います。まとめると、対角線² ＝ 縦² + 横² + 高さ² です。

解き方：底面の対角線の2乗は 3² + 4² ＝ 25（長さは 5cm）。対角線の2乗は 25 + 12² ＝ 25 + 144 ＝ 169。対角線は 13cm。

よくあるミス：① 底面の対角線 5cm を答えにしてしまうミス。聞かれているのは立体の対角線です。② 3² + 4² + 12² の計算で、12² を 24 としてしまうミス。12² は 144 です。

確かめ：対角線の2乗 169 は、縦・横・高さそれぞれの2乗の 9、16、144 をたしたものと等しくなっています。13 は立体のどの辺よりも長く、対角線として自然な長さです。

直角の向かい側にある辺が斜辺で、直角三角形の中でいちばん長い辺です。式は（直角をはさむ2辺の2乗の和）＝（斜辺の2乗）になります。

短い辺 : 長い辺 : 斜辺 ＝ 1 : √3 : 2 です。いちばん短い辺は 30° の角の向かいの辺で、斜辺はその2倍になります。

2点の x 座標の差と y 座標の差を2辺とする直角三角形を考え、（x の差）² + （y の差）² の平方根を求めます。