予想問題・数学

空間図形（体積・表面積）の予想問題5問——公式の取りちがえを1問ずつ解説

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空間図形（体積・表面積）は中1で習う単元で、入試や北辰テストの図形問題の土台になります（回ごとの範囲は → テスト範囲）。公式の数は多くないのに、1/3 のかけ忘れ・展開図のおうぎ形・回転体の半径と高さの取りちがえで点を落としやすいところです。全国の中学生がつまずきやすいポイントを、図がなくても解ける5問にしぼり、1問ずつ「なぜそのミスが起きるか」まで解説しました。

この5問でおさえるポイント
  • 柱体は「底面積 × 高さ」、錐体はその 1/3
  • 円柱の表面積は底面2つ ＋ 側面（横の長さ＝円周）
  • 円錐の側面のおうぎ形は、半径＝母線、中心角＝360° × 半径 ÷ 母線
  • 球は 体積 4/3πr³、表面積 4πr²
  • 回転体は「軸 → 高さ、まわる辺 → 半径」

問題（まず自分で解いてみよう）

  1. 底面の半径が 3cm、高さが 5cm の円柱があります。この円柱の体積と表面積を求めなさい。（円周率は π とする）
  2. 底面の半径が 6cm、高さが 5cm の円錐の体積を求めなさい。（円周率は π とする）
  3. 母線の長さが 5cm、底面の半径が 3cm の円錐があります。この円錐の展開図で、側面のおうぎ形の中心角と、円錐の表面積を求めなさい。（円周率は π とする）
  4. 半径 3cm の球の体積と表面積を求めなさい。（円周率は π とする）
  5. 直角をはさむ2辺が 3cm と 4cm の直角三角形があります。(1) 長さ 4cm の辺を軸として1回転させてできる立体の体積、(2) 長さ 3cm の辺を軸として1回転させてできる立体の体積をそれぞれ求めなさい。（円周率は π とする）

目安：問題1・2・4は1問1〜2分、問題3・5は1問3分。解き終わったら、下の「答えと解説を見る」を開いて確かめましょう。

答えと解説

問題1

底面の半径が 3cm、高さが 5cm の円柱があります。この円柱の体積と表面積を求めなさい。（円周率は π とする）

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答え：体積 45π cm³、表面積 48π cm²

考え方：体積は「底面積 × 高さ」。表面積は「底面積 × 2 ＋ 側面積」で、側面は広げると長方形になります。長方形の横の長さは、底面の円周と同じです。

解き方：底面積 = π × 3² = 9π。体積 = 9π × 5 = 45π cm³。側面積 = 円周 × 高さ = (2π × 3) × 5 = 30π。表面積 = 9π × 2 + 30π = 48π cm²。

よくあるミス：① 底面を1つしか足さず 9π + 30π = 39π としてしまうミス。円柱には上と下の2つの底面があります。② 側面積を「半径 × 高さ」や「π × 半径² × 高さ」と混同するミス。側面の長方形の横は円周（2πr）だと、展開図を思い浮かべて確かめましょう。

確かめ：単位も確認します。体積は cm³（3乗）、表面積は cm²（2乗）。答えの単位が逆になっていないかも見ましょう。

問題2

底面の半径が 6cm、高さが 5cm の円錐の体積を求めなさい。（円周率は π とする）

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答え：60π cm³

考え方：錐体（円錐・角錐）の体積は「底面積 × 高さ × 1/3」です。同じ底面と高さの柱体の体積のちょうど 1/3 になります。

解き方：底面積 = π × 6² = 36π。体積 = 36π × 5 × 1/3 = 60π cm³。

よくあるミス：1/3 をかけ忘れて 180π cm³ としてしまうミスです。柱体と錐体の公式を同じものだと思っていると起きます。「とがっている立体（錐）は 1/3」と、形と公式をセットで覚えましょう。

確かめ：同じ底面・高さの円柱なら 180π cm³。円錐はその 1/3 なので 60π cm³ で、合っています。

問題3

母線の長さが 5cm、底面の半径が 3cm の円錐があります。この円錐の展開図で、側面のおうぎ形の中心角と、円錐の表面積を求めなさい。（円周率は π とする）

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答え：中心角 216°、表面積 24π cm²

考え方：側面のおうぎ形は、半径が母線（5cm）、弧の長さが底面の円周と等しくなります。中心角 ＝ 360° × 底面の半径 ÷ 母線 で求められます。

解き方：中心角 = 360° × 3/5 = 216°。側面積 = π × 5² × 216/360 = 15π（または π × 母線 × 半径 = π × 5 × 3 = 15π）。底面積 = π × 3² = 9π。表面積 = 15π + 9π = 24π cm²。

よくあるミス：① おうぎ形の半径を底面の半径（3cm）にしてしまうミス。側面のおうぎ形の半径は母線です。② 中心角を 360° × 5/3 と逆にしてしまうミス。中心角は必ず 360° より小さくなるので、分数が 1 より大きくなったら逆だと気づけます。

確かめ：おうぎ形の弧の長さ 2π × 5 × 216/360 = 6π と、底面の円周 2π × 3 = 6π が等しくなっています。

問題4

半径 3cm の球の体積と表面積を求めなさい。（円周率は π とする）

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答え：体積 36π cm³、表面積 36π cm²

考え方：球の体積は 4/3 πr³、表面積は 4πr² です。

解き方：体積 = 4/3 × π × 3³ = 4/3 × 27π = 36π cm³。表面積 = 4 × π × 3² = 36π cm²。

よくあるミス：① 体積と表面積の公式を取りちがえるミス（3乗と2乗が逆）。体積は「長さ × 長さ × 長さ」なので3乗、面積は2乗と、単位（cm³ と cm²）から思い出せます。② 3³ を 9 と計算してしまうミス。3³ = 27 です。

確かめ：半径 3cm のときはたまたま体積と表面積の数字が同じ 36π になりますが、単位はちがいます。半径が変わると数字もずれるので、公式で毎回計算しましょう。

問題5

直角をはさむ2辺が 3cm と 4cm の直角三角形があります。(1) 長さ 4cm の辺を軸として1回転させてできる立体の体積、(2) 長さ 3cm の辺を軸として1回転させてできる立体の体積をそれぞれ求めなさい。（円周率は π とする）

答えと解説を見る

答え：(1) 12π cm³　(2) 16π cm³

考え方：直角三角形を、直角をはさむ辺を軸に回転させると円錐になります。軸にした辺が高さ、もう一方の辺が底面の半径です。

解き方：(1) 高さ 4cm、半径 3cm の円錐 → 1/3 × π × 3² × 4 = 12π cm³。(2) 高さ 3cm、半径 4cm の円錐 → 1/3 × π × 4² × 3 = 16π cm³。

よくあるミス：軸にした辺を半径にしてしまい、(1) と (2) の答えを入れかえてしまうミスです。軸は回転の「芯」なので動きません。動かない軸 → 高さ、まわる辺 → 半径と、回転のようすを想像してから式を立てましょう。

確かめ：同じ三角形でも、軸の選び方で体積が変わります。半径は2乗で効くので、長い辺（4cm）を半径にした (2) のほうが大きくなるのが自然です。

体積・表面積の公式の表

立体体積表面積この記事の問題
角柱・円柱底面積 × 高さ底面積 × 2 ＋ 側面積問題1
角錐・円錐底面積 × 高さ × 1/3底面積 ＋ 側面積問題2・3・5
円錐の側面積―π × 母線 × 底面の半径問題3
球4/3 πr³4πr²問題4

迷ったときの手順

  1. 立体が「柱」か「錐」か「球」かを決める（錐なら 1/3 を先に書いておく）
  2. 底面の形と、底面の半径・高さ・母線がどの長さかを確かめる
  3. 表面積は展開図を思い浮かべ、面を1枚ずつ数えて足す
  4. 最後に単位（体積は cm³、面積は cm²）を確かめる

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よくある質問

円錐の体積はなぜ 1/3 をかけるのですか？

同じ底面・同じ高さの円柱と比べると、円錐の体積はちょうど 1/3 になるからです。角錐と角柱の関係も同じです。

円錐の側面のおうぎ形の中心角はどう求めますか？

おうぎ形の弧の長さは底面の円周と等しいので、中心角 ＝ 360° × 底面の半径 ÷ 母線 で求められます。

回転体の問題で半径と高さをどう決めますか？

回転の軸にした辺が高さ、軸に垂直なもう一方の辺が底面の半径になります。軸は動かない、と考えると取りちがえを防げます。

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