平方根の予想問題5問——根号の計算ミスを1問ずつ解説

答え：4√3

考え方：根号の中を素因数分解し、同じ数が2つそろったら1つにして根号の外に出します。√(a²b) ＝ a√b です。

解き方：48 ＝ 2 × 2 × 2 × 2 × 3 ＝ 4² × 3。よって √48 ＝ √(4² × 3) ＝ 4√3。

よくあるミス：① 48 ＝ 4 × 12 と考えて 2√12 で止めてしまうミス。√12 はさらに 2√3 にできるので、根号の中をできるだけ小さい自然数にします。② 外に出した数をかけ忘れて、2 × 2√3 を 2√3 と書くミス。

確かめ：4√3 を2乗すると 4² × 3 で 48 になり、√48 と同じ数だとわかります。

答え：4√3

考え方：根号をふくむ式のたし算・ひき算は、根号の中を同じ数にそろえてから、文字式の同類項と同じようにまとめます。

解き方：√12 ＝ 2√3、√75 ＝ 5√3、√27 ＝ 3√3。よって 2√3 + 5√3 − 3√3 ＝ (2 + 5 − 3)√3 ＝ 4√3。

よくあるミス：① √12 + √75 を √87 のように、根号の中どうしをたしてしまうミス。√a + √b は √(a + b) ではありません。② 根号の中をそろえずに「計算できない」とあきらめるミス。まず a√b の形に直します。

確かめ：近似値で確かめると、√12 はおよそ 3.46、√75 はおよそ 8.66、√27 はおよそ 5.20 で、3.46 + 8.66 − 5.20 はおよそ 6.92。4√3 もおよそ 6.93 で、ほぼ同じです。

答え：3√2

考え方：分母に根号があるときは、分母と分子に同じ根号（√2）をかけて、分母を根号のない数にします。

解き方：6/√2 ＝ (6 × √2)/(√2 × √2) ＝ 6√2/2 ＝ 3√2。

よくあるミス：① 分母にだけ √2 をかけて、分子にかけ忘れるミス。分母と分子に同じものをかけないと、値が変わってしまいます。② 6√2/2 の約分を忘れて、そのまま答えるミス。

確かめ：3√2 × √2 は 3 × 2 で 6 になるので、3√2 ＝ 6/√2 であることがわかります。

答え：−7 − 3√3

考え方：√3 を1つの文字 x のように考えて、乗法公式 (x + a)(x + b) ＝ x² + (a + b)x + ab を使います。

解き方：(√3)² + (2 − 5)√3 + 2 × (−5) ＝ 3 − 3√3 − 10 ＝ −7 − 3√3。

よくあるミス：① (√3)² を √9 のまま残したり、9 にしてしまうミス。(√3)² ＝ 3 です。② 最後に 3 と −10 をまとめ忘れるミス。根号のない数どうし、根号のある項どうしをそれぞれまとめます。③ −7 と −3√3 をまとめて −10√3 としてしまうミス。根号のある項とない項はまとめられません。

確かめ：分配法則で一つずつかけると、3 − 5√3 + 2√3 − 10 で、まとめると −7 − 3√3 になり同じです。

答え：6

考え方：√(54n) が自然数になるのは、54n がある自然数の2乗になるときです。54 を素因数分解して、2乗になるのに足りない素因数をかけます。

解き方：54 ＝ 2 × 3³ ＝ 2 × 3² × 3。2乗にするには 2 と 3 がもう1つずつ必要なので、n ＝ 2 × 3 ＝ 6。

よくあるミス：① 素因数分解をせずに、54 に近い2乗の数（64 など）から考えて答えをまちがえるミス。② 3³ の3つの 3 のうち、余る1つを見落として n ＝ 2 としてしまうミス。素因数を2つずつの組に分けて、余ったものをかけます。

確かめ：n ＝ 6 のとき 54n は 324 で、324 は 18 の2乗なので √324 は 18 という自然数になります。n が 1〜5 のときは、54n はどれも自然数の2乗になりません。

それぞれを a√b の形に直して、根号の中を同じ数にそろえます。√12 ＝ 2√3、√75 ＝ 5√3 なので、2√3 + 5√3 ＝ 7√3 のようにまとめます。

分母に根号がない形にそろえると、計算や大小の比べ方がしやすくなるからです。答えは分母を有理化した形で書くのがふつうです。

● を素因数分解し、すべての素因数が2つずつの組になるように、足りない素因数をかけたものがもっとも小さい n です。