関数 y＝ax² の予想問題5問——変域と変化の割合のミスを1問ずつ解説

答え：y ＝ 8

考え方：「y は x の2乗に比例する」ので、式は y ＝ ax² とおけます。まず1組の x、y の値から比例定数 a を求めます。

解き方：18 ＝ a × 3² → 18 ＝ 9a → a ＝ 2。式は y ＝ 2x²。x ＝ −2 を代入して y ＝ 2 × (−2)² ＝ 2 × 4 ＝ 8。

よくあるミス：① (−2)² を −4 としてしまう符号ミス。負の数を2乗すると正の数になります。かっこをつけて代入しましょう。② 「比例」だけを見て y ＝ ax とおき、a ＝ 6 としてしまうミス。「2乗に比例」なので y ＝ ax² です。

確かめ：y ＝ 2x² に x ＝ 3 を入れると 2 × 9 で 18 になり、問題の条件に合います。x ＝ 2 のときも x ＝ −2 のときも y は 8 で、グラフが y 軸について対称なことも確かめられます。

答え：0 ≦ y ≦ 9

考え方：y ＝ ax² のグラフは原点を通る放物線です。x の変域が 0 をふくむとき、y の最小値（a > 0 のとき）は x ＝ 0 のときの 0 になります。グラフをかいて考えましょう。

解き方：x ＝ −3 のとき y ＝ 9、x ＝ 0 のとき y ＝ 0、x ＝ 1 のとき y ＝ 1。いちばん大きいのは 9、いちばん小さいのは 0 なので、0 ≦ y ≦ 9。

よくあるミス：① 両はしの値だけを代入して 1 ≦ y ≦ 9 と答えてしまうミス。x ＝ 0 が変域にふくまれているので、y はいったん 0 まで下がります。② x ＝ −3 のとき y ＝ −9 としてしまう符号ミス。

確かめ：グラフで x が −3 から 0 に動くと y は 9 から 0 に減り、0 から 1 に動くと y は 0 から 1 に増えます。y がとる値は 0 から 9 までで、答えと合います。

答え：10

考え方：変化の割合 ＝ （y の増加量）÷（x の増加量）です。一次関数とちがい、y ＝ ax² の変化の割合は一定ではないので、毎回計算します。

解き方：x ＝ 1 のとき y ＝ 2、x ＝ 4 のとき y ＝ 32。y の増加量は 32 − 2 ＝ 30、x の増加量は 4 − 1 ＝ 3。変化の割合は 30 ÷ 3 ＝ 10。

よくあるミス：① 一次関数と同じように考えて、比例定数の 2 を答えてしまうミス。y ＝ ax² では、変化の割合は x の範囲によって変わります。② y の増加量だけを求めて 30 と答えるミス。最後に x の増加量でわります。

確かめ：y ＝ ax² で x が p から q まで増加するときの変化の割合は a(p + q) で求められます。2 × (1 + 4) で 10 になり、同じ答えです。

答え：(−2, 4) と (3, 9)

考え方：交点は両方のグラフの上にある点なので、2つの式を連立させます。y を消すと x² ＝ x + 6 という二次方程式になります。

解き方：x² − x − 6 ＝ 0 → (x − 3)(x + 2) ＝ 0 → x ＝ 3、−2。x ＝ 3 のとき y ＝ 9、x ＝ −2 のとき y ＝ 4。交点は (−2, 4) と (3, 9)。

よくあるミス：① x の値だけを答えて、y を求め忘れるミス。② 交点が2つあるのに、正の解の (3, 9) だけを答えてしまうミス。放物線と直線は2点で交わることが多いので、解を両方使います。③ 因数分解の符号ミスで (x + 3)(x − 2) としてしまうミス。

確かめ：(−2, 4) を y ＝ x + 6 に入れると −2 + 6 で 4、(3, 9) を入れると 3 + 6 で 9 になり、どちらも直線の上にもあります。

答え：4秒後

考え方：y ＝ 80 を式に代入して、x についての方程式を解きます。時間 x は 0 以上なので、負の解は答えにしません。

解き方：80 ＝ 5x² → x² ＝ 16 → x ＝ ±4。x ≧ 0 なので x ＝ 4。4秒後。

よくあるミス：① x² ＝ 16 から x ＝ ±4 を出して、そのまま −4 秒もふくめて答えるミス。文章題では、解が問題に合うかを確かめます。② 80 ÷ 5 ＝ 16 で止めて「16秒後」と答えるミス。16 は x² の値なので、平方根をとります。

確かめ：x ＝ 4 を y ＝ 5x² に入れると、4² は 16 で、その5倍は 80 になり、問題の条件に合います。

x の変域の両はしの値を代入するだけでなく、x ＝ 0 が変域にふくまれるかを確かめます。ふくまれるときは、a が正なら y の最小値が 0、a が負なら最大値が 0 になります。

一定ではありません。x の範囲によって変わるので、（y の増加量）÷（x の増加量）で毎回求めます。x が p から q まで増加するときは a(p + q) でも求められます。

2つの式から y を消して二次方程式をつくり、x を求めます。その x をどちらかの式に代入して y を求め、交点の座標を答えます。