予想問題・数学

連立方程式（文章題）の予想問題5問——式の立て方のミスを1問ずつ解説

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連立方程式の文章題は中2で習う単元で、入試や北辰テストの数学で「式を立てる力」が問われるところです（回ごとの範囲は → テスト範囲）。計算はできるのに、何を x・y にするか、どの量で式をつくるか、答えに何を書くかでつまずく人が多い単元です。代金・速さ・割合・濃度・整数の5つの型を1問ずつにしぼり、「なぜそのミスが起きるか」まで解説しました。計算のしかたは 連立方程式（計算）の予想問題 で確かめられます。

この5問でおさえるポイント
  • 1本の式には同じ種類の量（個数どうし・金額どうし）だけを入れる
  • 時間 ＝ 道のり ÷ 速さ。単位をそろえる
  • 割合の問題は「もとにする量」を文字にする。答えが今年か昨年かを確かめる
  • 濃度は食塩の重さに直してから式をつくる
  • 2けたの数は 10x + y。最後に聞かれているものを答える

問題（まず自分で解いてみよう）

  1. 1個120円のりんごと1個50円のみかんを合わせて15個買ったところ、代金の合計は1170円でした。りんごとみかんをそれぞれ何個買いましたか。
  2. A地点から2400m離れたB地点まで行くのに、はじめは分速60mで歩き、途中から分速120mで走ったところ、全部で25分かかりました。歩いた道のりと走った道のりをそれぞれ求めなさい。
  3. ある工場で昨年つくった製品Aと製品Bは、合わせて500個でした。今年は、昨年と比べて製品Aが10%増え、製品Bが5%減ったので、全体では8個増えました。今年つくった製品Aと製品Bの個数をそれぞれ求めなさい。
  4. 8%の食塩水と3%の食塩水を混ぜて、5%の食塩水を500gつくります。それぞれ何gずつ混ぜればよいですか。
  5. 2けたの自然数があります。十の位の数字と一の位の数字の和は11です。また、十の位の数字と一の位の数字を入れかえた数は、もとの数より27大きくなります。もとの自然数を求めなさい。

目安：1問3〜4分。解き終わったら、下の「答えと解説を見る」を開いて確かめましょう。

答えと解説

問題1

1個120円のりんごと1個50円のみかんを合わせて15個買ったところ、代金の合計は1170円でした。りんごとみかんをそれぞれ何個買いましたか。

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答え：りんごは6個、みかんは9個

考え方：わからない数が2つ（りんごの個数・みかんの個数）なので、x と y の2つの文字を使います。「個数の関係」と「代金の関係」で、式を2本つくります。

解き方：りんごを x 個、みかんを y 個とすると、x + y = 15、120x + 50y = 1170。1つ目を 50 倍して 50x + 50y = 750。2つ目からひくと 70x = 420 → x = 6、y = 9。りんご6個、みかん9個。

よくあるミス：式を「x + y = 1170」のように、個数と金額をまぜてしまうミスです。1本の式には同じ種類の量（個数どうし、金額どうし）だけを入れましょう。

確かめ：りんご6個で720円、みかん9個で450円、合わせて1170円。個数も6個と9個で15個なので、問題の条件に合います。

問題2

A地点から2400m離れたB地点まで行くのに、はじめは分速60mで歩き、途中から分速120mで走ったところ、全部で25分かかりました。歩いた道のりと走った道のりをそれぞれ求めなさい。

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答え：歩いた道のりは600m、走った道のりは1800m

考え方：聞かれているのは道のりなので、歩いた道のりを x m、走った道のりを y m とします。「道のりの合計」と「時間の合計」で式をつくります。時間 ＝ 道のり ÷ 速さです。

解き方：x + y = 2400、x/60 + y/120 = 25。2つ目に 120 をかけて 2x + y = 3000。1つ目をひくと x = 600、y = 1800。歩いた道のり600m、走った道のり1800m。

よくあるミス：① 時間の式を「60x + 120y = 25」のように、道のり × 速さにしてしまうミス。単位で確かめると、m × (m/分) では「分」になりません。② 時間の式の 25分 と、速さの「分速」の単位がそろっているかを見落とすミス。速さが時速なら、時間も「時間」でそろえます。

確かめ：600 ÷ 60 = 10分、1800 ÷ 120 = 15分、合わせて 25分。道のりも600mと1800mで2400mになり、合います。

問題3

ある工場で昨年つくった製品Aと製品Bは、合わせて500個でした。今年は、昨年と比べて製品Aが10%増え、製品Bが5%減ったので、全体では8個増えました。今年つくった製品Aと製品Bの個数をそれぞれ求めなさい。

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答え：今年の製品Aは242個、製品Bは266個

考え方：増減の割合は昨年の個数をもとにしているので、昨年の製品Aを x 個、製品Bを y 個とおきます。「昨年の合計」と「増えた個数」で式をつくります。

解き方：x + y = 500、0.1x − 0.05y = 8。2つ目を 20 倍して 2x − y = 160。1つ目とたすと 3x = 660 → x = 220、y = 280（昨年）。今年の製品Aは 220個の10%（22個）増えて 242個、製品Bは 280個の5%（14個）減って 266個。

よくあるミス：① x = 220、y = 280 を答えにしてしまうミス。これは昨年の個数で、問題は今年の個数を聞いています。② 今年の個数を x、y とおいてしまい、割合の式が立てられなくなるミス。割合のもとになる量（昨年）を文字にするのがコツです。

確かめ：242個と266個で508個。昨年の500個より8個増えていて、問題と合います。

問題4

8%の食塩水と3%の食塩水を混ぜて、5%の食塩水を500gつくります。それぞれ何gずつ混ぜればよいですか。

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答え：8%の食塩水 200g、3%の食塩水 300g

考え方：混ぜても変わらないのは「食塩水の重さの合計」と「食塩の重さの合計」です。食塩の重さ ＝ 食塩水の重さ × 濃度で式をつくります。

解き方：8%を x g、3%を y g とすると、x + y = 500、0.08x + 0.03y = 25（500gの5%）。2つ目を 100 倍して 8x + 3y = 2500。1つ目を 3 倍してひくと 5x = 1000 → x = 200、y = 300。8%を200g、3%を300g。

よくあるミス：濃度どうしをたして「8 + 3 = 5」のような式にしてしまうミスです。濃度（%）はたしたりひいたりできません。必ず食塩の重さ（g）に直してから式をつくりましょう。

確かめ：食塩は 200gの8%で16g、300gの3%で9g、合わせて25g。500gのうち25gなので 5% になります。

問題5

2けたの自然数があります。十の位の数字と一の位の数字の和は11です。また、十の位の数字と一の位の数字を入れかえた数は、もとの数より27大きくなります。もとの自然数を求めなさい。

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答え：47

考え方：十の位の数字を x、一の位の数字を y とすると、もとの数は 10x + y、入れかえた数は 10y + x と表せます。

解き方：x + y = 11、(10y + x) − (10x + y) = 27 → 9y − 9x = 27 → y − x = 3。2つの式をたして 2y = 14 → y = 7、x = 4。もとの数は 47。

よくあるミス：① 2けたの数を「xy」と書いて、x × y の意味にしてしまうミス。② x = 4、y = 7 を出したところで終わり、「もとの数」の 47 を答え忘れるミス。最後に、問題が何を聞いているかを読み直してから答えを書きましょう。

確かめ：4 + 7 = 11、入れかえた数 74 は 47 より 27 大きい（74 − 47 = 27）。どちらの条件にも合います。

文章題の型と式のつくり方の表

型1本目の式2本目の式この記事の問題
代金個数の合計（単価 × 個数）の合計問題1
速さ道のりの合計（道のり ÷ 速さ）＝ 時間の合計問題2
割合（増減）もとの量の合計（もとの量 × 増減の割合）の合計 ＝ 増減問題3
濃度食塩水の重さの合計（食塩水 × 濃度）＝ 食塩の重さ問題4
整数（2けたの数）各位の数字の関係10x + y と 10y + x の関係問題5

迷ったときの手順

  1. 問題が聞いているもの（答え）に線を引く
  2. わからない2つの量を x・y とおく（割合はもとにする量を文字に）
  3. 「同じ種類の量」の関係を2つ見つけて、式を2本つくる
  4. 解いたら、答えが聞かれているもの（今年の個数・もとの数など）になっているかを確かめる

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よくある質問

連立方程式の文章題で、何を x と y にすればいいですか？

基本は問題が聞いている2つの量を x と y にします。割合の問題では、割合のもとになる量（昨年の個数など）を文字にすると式が立てやすくなります。

速さの文章題で式を立てるコツは？

道のりの合計と時間の合計で2本の式をつくります。時間は道のり ÷ 速さで表し、分速なら時間も分、時速なら時間でそろえます。

濃度の文章題で多いミスは何ですか？

濃度（%）どうしをたしたりひいたりしてしまうミスです。食塩水の重さ × 濃度で食塩の重さに直してから式をつくります。

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