北辰テスト 第5回 予想問題 数学【A版・本命】——問題・正答・解説（2026年10月11日）

正答：7a

同類項をまとめます。15a − 8a ＝ (15 − 8)a ＝ 7a です。

正答：−8

足し算より先に割り算をします。12 ÷ (−4) ＝ −3 なので、−5 ＋ (−3) ＝ −8 です。

正答：4xy

かけ算と割り算だけの式なので、分数の形にして約分します。

8x²y × 3y ÷ 6xy ＝ 24x²y² / 6xy ＝ 4xy です。

正答：2√3

√48 ＝ √(16 × 3) ＝ 4√3。6/√3 は分母を有理化して 6√3/3 ＝ 2√3 です。

4√3 − 2√3 ＝ 2√3 です。

正答：x ＝ 4、y ＝ −2

上の式を①、下の式を②とします。①を2倍すると 6x ＋ 4y ＝ 16 です。

これと②の左辺どうし、右辺どうしを足すと 7x ＝ 28 なので x ＝ 4。②に代入して 4 − 4y ＝ 12、−4y ＝ 8 より y ＝ −2 です。

検算：①に代入すると 3×4 ＋ 2×(−2) ＝ 12 − 4 ＝ 8、②は 4 − 4×(−2) ＝ 12 で、どちらも合います。

正答：x ＝ (5 ± √17) / 2

左辺は整数の範囲で因数分解できません（かけて 2、足して −5 になる整数の組がありません）。解の公式を使います。

a ＝ 1、b ＝ −5、c ＝ 2 として、x ＝ (5 ± √(25 − 8)) / 2 ＝ (5 ± √17) / 2 です。

√ の中の 17 は平方数ではないので、√ が残った形が答えです。

正答：500 − 3a（円）

ジュース3本の代金は 3a 円です。500円を出したので、おつりは 500 − 3a（円） です。

正答：y ＝ 3x − 5

傾きが 3 なので y ＝ 3x ＋ b とおきます。点 (1, −2) を通るので −2 ＝ 3×1 ＋ b、b ＝ −5 です。

よって y ＝ 3x − 5 です。

正答：7/36

目の出方は全部で 6 × 6 ＝ 36 通りです。和が5の倍数になるのは、和が5または10のときです。

和が5：(1,4)(2,3)(3,2)(4,1) の4通り。和が10：(4,6)(5,5)(6,4) の3通り。

合わせて7通りなので、確率は 7/36 です。

正答：36π cm³

球の体積は V ＝ (4/3)πr³ です。r ＝ 3 を入れると (4/3) × π × 27 ＝ 36π (cm³) です。

正答：5x − 6

4個ずつ配ると3個余るので、あめは 4x ＋ 3（個）。5個ずつ配ると6個たりないので、あめは 5x − 6（個） と表せます。

この2つが同じ個数なので 4x ＋ 3 ＝ 5x − 6 です。

正答：9人

4x ＋ 3 ＝ 5x − 6 を解きます。−x ＝ −9 より x ＝ 9（人）です。

検算：あめは 4×9 ＋ 3 ＝ 39（個）、5×9 − 6 ＝ 39（個）で、どちらも同じ個数になります。

正答：7

28 ＝ 2² × 7 なので、28n ＝ 2² × 7 × n です。これが平方数になるには、7 × n が平方数になればよいことになります。

最も小さい自然数は n ＝ 7 です。検算：√(28×7) ＝ √196 ＝ 14 で、自然数になります。

正答：12π cm³

辺 AB を軸に回すと、底面の半径が BC ＝ 3 cm、高さが AB ＝ 4 cm の円錐になります。

体積は (1/3) × π × 3² × 4 ＝ (1/3) × 36π ＝ 12π (cm³) です。

正答：4番目 24個、5番目 35個

4番目は縦4個 × 横6個 ＝ 24個、5番目は縦5個 × 横7個 ＝ 35個 です。

個数の並び 3、8、15、24、35、…は、n(n ＋ 2) で表せます。

正答：i：n² ＋ 2n　／　ii：(n − 10)(n ＋ 12)　／　iii：10

n(n ＋ 2) を展開すると n² ＋ 2n です。

n² ＋ 2n − 120 ＝ 0 の左辺を因数分解します。かけて −120、足して 2 になる2数は −10 と 12 なので、(n − 10)(n ＋ 12) ＝ 0。これより n ＝ 10 または n ＝ −12 です。

n は自然数なので n ＝ 10。検算：10番目は縦10個 × 横12個 ＝ 120個で、合います。

正答：C(2, 6)

まず2直線の式を連立して解きます。(3/2)x ＋ 3 ＝ −3x ＋ 12 の両辺を2倍すると 3x ＋ 6 ＝ −6x ＋ 24、9x ＝ 18 より x ＝ 2。

y ＝ −3×2 ＋ 12 ＝ 6 なので、C(2, 6) です。

（A と B も求めておきます。ℓ で y ＝ 0 とすると x ＝ −2 なので A(−2, 0)、m で y ＝ 0 とすると x ＝ 4 なので B(4, 0) です。(2) で使います。）

正答：y ＝ 6x − 6

三角形の頂点 C を通り、面積を2等分する直線は、向かい合う辺 AB の中点を通ります。

A(−2, 0)、B(4, 0) なので、AB の中点 M の座標は ((−2 ＋ 4)/2, 0) ＝ M(1, 0) です。△ACM と △BCM は、底辺が AM ＝ MB ＝ 3 cm で等しく、高さ（C から x 軸までの距離 6 cm）が共通なので、面積が等しくなります。

C(2, 6) と M(1, 0) を通る直線の傾きは (6 − 0)/(2 − 1) ＝ 6。y ＝ 6x ＋ b に M(1, 0) を入れて 0 ＝ 6 ＋ b、b ＝ −6 より、y ＝ 6x − 6 です。

検算：△ABC ＝ (1/2) × 6 × 6 ＝ 18 cm²、△ACM ＝ (1/2) × 3 × 6 ＝ 9 cm² で、ちょうど半分です。x ＝ 2 のとき y ＝ 6×2 − 6 ＝ 6 で、C を通ります。

正答：① CD　② ∠CDF　③ ∠DCF　④ 1組の辺とその両端の角

(1) の AB ＝ CD から、辺 AB に対応するのは辺 CD です（①）。平行四辺形の向かい合う角は等しいので、∠ABE（＝∠ABC）に対応する角は ∠CDF（＝∠CDA）です（②）。

(3) は、∠BAE ＝ (1/2)∠BCD ＝ ∠DCF（CF が ∠BCD を2等分しているため）です（③）。

辺 AB とその両端の角 ∠BAE、∠ABE が、辺 CD とその両端の角 ∠DCF、∠CDF にそれぞれ等しいので、合同条件は「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」です（④）。

正答：124°

平行四辺形のとなり合う内角の和は 180° なので、∠BAD ＝ 180° − 68° ＝ 112°。AE は ∠BAD の二等分線だから ∠BAE ＝ 112° ÷ 2 ＝ 56° です。

△ABE の内角の和より、∠AEB ＝ 180° − 68° − 56° ＝ 56°。E は辺 BC 上の点で、∠AEB と ∠AEC は一直線上でとなり合う角だから、∠AEC ＝ 180° − 56° ＝ 124° です。

正答：12 cm²

AD ∥ BC より、錯角が等しく ∠DAE ＝ ∠AEB。AE は二等分線なので ∠BAE ＝ ∠DAE。よって ∠BAE ＝ ∠AEB となり、△ABE は BE ＝ BA の二等辺三角形です。

BE ＝ AB ＝ 8 cm なので EC ＝ BC − BE ＝ 10 − 8 ＝ 2 cm。同じように △CDF も DF ＝ DC ＝ 8 cm の二等辺三角形で、AF ＝ AD − DF ＝ 2 cm です。

AF ∥ EC で AF ＝ EC なので、四角形 AECF は平行四辺形です。AD と BC の間の距離を h とすると、平行四辺形 ABCD の面積から 10 × h ＝ 60、h ＝ 6 cm。

四角形 AECF の面積は EC × h ＝ 2 × 6 ＝ 12 (cm²) です。

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