数学 相似の予想問題5問——相似比・平行線と比・面積比を図で1問ずつ解説

答え：x は12cmです

考え方：相似な図形では、対応する辺の長さの比はすべて等しくなります。この比を相似比といいます。まず、長さが両方分かっている対応する辺で相似比を求めます。

解き方：ABとDEが対応するので、相似比は6cmと9cmで2：3です。BCとEFも同じ比になるので、8：x＝2：3 です。比の性質から 2x＝24 となり、x＝12 です。

よくあるミス：① 対応する辺をまちがえるミス。「△ABC∽△DEF」と書かれたら、書かれた順にAとD、BとE、CとFが対応します。② 比の式を「8：x＝3：2」と逆に立てるミス。左の三角形どうし・右の三角形どうしを同じ側にそろえます。

確かめ：BCとEFの長さの比は8cmと12cmで、どちらも4でわると2：3になり、ABとDEの比と一致します。すべての対応する辺の比がそろっていることで確かめられます。

答え：x は9cmです

考え方：DE∥BC のとき、△ADE∽△ABC になります（同位角が等しいので、2組の角がそれぞれ等しい）。このとき、DE：BC は AD：DB ではなく AD：AB と等しくなります。

解き方：ABの長さは、ADの4cmとDBの2cmを合わせて6cmです。AD：AB は 4：6、つまり 2：3 です。DE：BC も2：3 なので、6：x＝2：3 から 2x＝18 となり、x＝9 です。

よくあるミス：① AD：DB＝4：2 を使って、DE：BC＝2：1 と考えるミス。DEとBCの比は、頂点Aからの長さどうし（AD：AB）で決まります。② ABの長さを4cmのまま使うミス。ABはADとDBを合わせた長さです。

確かめ：△ADEと△ABCで、ADとABの比は4cmと6cm、DEとBCの比は6cmと9cmで、どちらも2：3になっています。相似比がそろうことで確かめられます。

答え：相似条件は「2組の角がそれぞれ等しい」で、根拠は∠ADE＝∠ACB（仮定）と、∠DAE＝∠CAB（共通な角）の2組です

考え方：三角形の相似条件は、①3組の辺の比がすべて等しい、②2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい、③2組の角がそれぞれ等しい、の三つです。角の条件が与えられているときは③を考えます。

解き方：仮定から ∠ADE＝∠ACB です。また、∠DAE と ∠CAB は同じ角（∠A）なので等しくなります。2組の角がそれぞれ等しいので、△ADE∽△ACB です。

よくあるミス：① 頂点の順を「△ADE∽△ABC」と書くミス。∠D と ∠C が等しいので、Dに対応するのはCです。対応する頂点の順にそろえて書きます。② 共通な角を書き忘れるミス。証明では「∠A は共通」と根拠を一つずつ書きます。

確かめ：三角形の内角の和はどれも180°なので、2組の角が等しければ残りの1組（∠AED と ∠ABC）も等しくなります。3組の角がすべてそろうことで、相似であることが確かめられます。

答え：三角形Qの面積は45cm²です

考え方：相似な図形の面積の比は、相似比の2乗になります。相似比が a：b なら、面積の比は a²：b² です。

解き方：相似比が2：3なので、面積の比は 2²：3²、つまり 4：9 です。Qの面積を S とすると 20：S＝4：9 で、4S＝180 から S＝45 です。

よくあるミス：① 面積の比を相似比と同じ2：3と考えて、30cm²と答えるミス。面積は縦と横の両方が大きくなるので、2乗になります。② 体積の比（相似比の3乗）と混同するミス。面積は2乗、体積は3乗です。

確かめ：45cm²は20cm²の何倍かを考えると、45を20でわって4分の9倍です。これは相似比3：2を2乗した値と同じなので、面積の比が相似比の2乗になっていると確かめられます。

答え：MNの長さは5cmで、MNとBCは平行です

考え方：三角形の2辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で、長さは残りの辺の半分になります。これを中点連結定理といいます。

解き方：MとNはそれぞれABとACの中点なので、中点連結定理より MN∥BC です。長さは BC の半分なので、10cmの半分で 5cm です。

よくあるミス：① 長さだけ答えて、平行であることを書き忘れるミス。中点連結定理は「平行」と「半分」の二つをセットで使います。② 2辺の中点ではないのに使うミス。この定理は、2点がどちらも中点のときだけ使えます。

確かめ：AM：AB と AN：AC はどちらも1：2なので、△AMN∽△ABC で相似比は1：2です。MN：BC も1：2になり、BCの10cmの半分の5cmと一致することで確かめられます。

相似比は対応する辺の長さの比です。面積の比は相似比の2乗になり、たとえば相似比が2：3なら面積の比は4：9です。

3組の辺の比がすべて等しい、2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい、2組の角がそれぞれ等しい、の三つです。

三角形の2辺の中点を結んだ線分について使えます。その線分は残りの辺に平行で、長さは残りの辺の半分になります。