比例・反比例の予想問題5問——比例定数と反比例の見分け方を1問ずつ解説
比例・反比例は中1で習う単元ですが、中2の一次関数、中3の関数 y = ax² につながる「関数」の入り口です（回ごとの範囲は → テスト範囲）。式の形は簡単なのに、比例定数の求め方・反比例の見分け方・負の数の扱いで点を落としやすいところです。全国の中学生がつまずきやすいポイントを5問にしぼり、1問ずつ「なぜそのミスが起きるか」まで解説しました。
- 比例は a = y ÷ x、反比例は a = x × y
- 反比例かどうかは「x × y が一定か」で決める（増える・減るでは決めない）
- 反比例のグラフは2つの曲線。負の側の点も数える
- 交点は両方の式が成り立つ点。わかっている式から座標を決める
問題（まず自分で解いてみよう）
- y は x に比例し、x = −3 のとき y = 12 です。y を x の式で表しなさい。また、x = 5 のときの y の値を求めなさい。
- y は x に反比例し、x = 4 のとき y = −6 です。y を x の式で表しなさい。また、x = −3 のときの y の値を求めなさい。
- 次のア〜エのうち、y が x に反比例するものをすべて選びなさい。
ア 1辺が x cm の正方形の周の長さ y cm
イ 面積が 24cm² の長方形の縦 x cm と横 y cm
ウ 1000円持っていて x 円使ったときの残り y 円
エ 12km の道のりを時速 x km で進むときにかかる時間 y 時間 - 反比例 y = 12/x のグラフ上の点のうち、x 座標と y 座標がどちらも整数である点は全部で何個ありますか。
- 比例 y = 2x のグラフと反比例 y = a/x のグラフが、x 座標が 3 の点で交わっています。a の値を求めなさい。また、2つのグラフのもう1つの交点の座標を求めなさい。
目安：問題1〜3は1問1〜2分、問題4・5は1問3分。解き終わったら、下の「答えと解説を見る」を開いて確かめましょう。
答えと解説
問題1
y は x に比例し、x = −3 のとき y = 12 です。y を x の式で表しなさい。また、x = 5 のときの y の値を求めなさい。
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答え：y = −4x、x = 5 のとき y = −20
考え方：比例の式は y = ax。わかっている x と y の組を入れて、比例定数 a を求めます。
解き方：12 = a × (−3) → a = 12 ÷ (−3) = −4。よって y = −4x。x = 5 のとき y = −4 × 5 = −20。
よくあるミス：① a を x ÷ y で求めて −3 ÷ 12 = −1/4 としてしまうミス。比例定数は a = y ÷ x です。式 y = ax に数を入れてから a を求めれば、わる向きをまちがえません。② 符号を落として y = 4x としてしまうミス。12 ÷ (−3) は負の数です。
確かめ：y = −4x に x = −3 を入れると y = 12 で、問題の条件に合います。
問題2
y は x に反比例し、x = 4 のとき y = −6 です。y を x の式で表しなさい。また、x = −3 のときの y の値を求めなさい。
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答え：y = −24/x、x = −3 のとき y = 8
考え方：反比例の式は y = a/x。反比例では x × y がいつも同じ値（＝ a）になります。
解き方：a = x × y = 4 × (−6) = −24。よって y = −24/x。x = −3 のとき y = −24 ÷ (−3) = 8。
よくあるミス：比例と同じように a = y ÷ x と計算して −6 ÷ 4 = −3/2 としてしまうミスです。比例は「わる」（a = y ÷ x）、反比例は「かける」（a = x × y）と、セットで覚えましょう。
確かめ：x = 4 のとき −24 ÷ 4 = −6、x = −3 のとき −24 ÷ (−3) = 8。どちらも x × y = −24 になっています。
問題3
次のア〜エのうち、y が x に反比例するものをすべて選びなさい。
ア 1辺が x cm の正方形の周の長さ y cm
イ 面積が 24cm² の長方形の縦 x cm と横 y cm
ウ 1000円持っていて x 円使ったときの残り y 円
エ 12km の道のりを時速 x km で進むときにかかる時間 y 時間
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答え：イ、エ
考え方：実際に y を x の式で表し、y = a/x の形になるかで判断します。
解き方：ア y = 4x（比例）。イ xy = 24 より y = 24/x（反比例）。ウ y = 1000 − x（比例でも反比例でもない）。エ 時間 ＝ 道のり ÷ 速さ より y = 12/x（反比例）。答えはイ、エ。
よくあるミス：「x が増えると y が減るから反比例」と考えて、ウを選んでしまうミスです。ウは x が増えると y が減りますが、x × y は一定になりません（x = 100 のとき 100 × 900、x = 200 のとき 200 × 800）。反比例かどうかは「増える・減る」ではなく、x × y が一定かどうかで決まります。
確かめ：イで x = 3 なら y = 8、x = 6 なら y = 4。x が2倍になると y が1/2倍になっていて、反比例の性質に合います。
問題4
反比例 y = 12/x のグラフ上の点のうち、x 座標と y 座標がどちらも整数である点は全部で何個ありますか。
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答え：12個
考え方：x と y がどちらも整数になるのは、x が 12 の約数のときです。負の数の約数も忘れずに数えます。
解き方：x が正のとき：x = 1, 2, 3, 4, 6, 12 の6個。x が負のとき：x = −1, −2, −3, −4, −6, −12 の6個。合わせて 12個。
よくあるミス：正の約数だけ数えて「6個」と答えるミスです。反比例のグラフは2つの曲線（双曲線）でできていて、a が正のときは右上と左下の2か所にあります。左下の曲線上の点（例：(−3, −4)）も数えるのを忘れないようにしましょう。
確かめ：(−3, −4) を入れると −3 × (−4) = 12 で、確かにグラフ上の点です。
問題5
比例 y = 2x のグラフと反比例 y = a/x のグラフが、x 座標が 3 の点で交わっています。a の値を求めなさい。また、2つのグラフのもう1つの交点の座標を求めなさい。
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答え：a = 18、もう1つの交点は (−3, −6)
考え方：交点は両方のグラフの上にある点です。まず比例の式から交点の y 座標を出し、その点を反比例の式に入れて a を求めます。
解き方：x = 3 を y = 2x に入れると y = 6。交点は (3, 6)。これを y = a/x に入れると a = 3 × 6 = 18。もう1つの交点は、2x = 18/x → x² = 9 → x = ±3 より x = −3、y = 2 × (−3) = −6。(−3, −6)。
よくあるミス：① 交点の y 座標を出さずに、x = 3 だけで a を求めようとして手が止まるミス。交点は「両方の式が成り立つ点」なので、わかっている式から先に座標を決めるのがコツです。② もう1つの交点に気づかないミス。y = 2x のグラフは原点を通る直線で、反比例の左下の曲線とも交わります。2つのグラフは原点について対称なので、交点も (3, 6) と (−3, −6) の2つです。
確かめ：(−3, −6) は y = 2x（2 × (−3) = −6）にも、y = 18/x（18 ÷ (−3) = −6）にも合います。
比例と反比例の要点の表
| 比例 | 反比例 | |
|---|---|---|
| 式 | y = ax | y = a/x |
| 比例定数 a の求め方 | a = y ÷ x | a = x × y |
| x が2倍・3倍になると | y も2倍・3倍 | y は1/2倍・1/3倍 |
| グラフ | 原点を通る直線 | 2つの曲線（双曲線）、原点も軸も通らない |
| この記事の問題 | 問題1・5 | 問題2〜5 |
迷ったときの手順
- 文章題なら、まず y を x の式で表してみる
- y = ax の形なら比例、y = a/x（xy = 一定）の形なら反比例、それ以外はどちらでもない
- 比例定数は、式に x と y を入れてから求める（わる向き・かける向きをまちがえない）
- グラフの問題は、負の側（左下・右下）も忘れずに考える
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よくある質問
比例定数の求め方は比例と反比例でどう違いますか？
比例 y = ax では a = y ÷ x、反比例 y = a/x では a = x × y で求めます。式に x と y の値を入れてから計算すると、まちがえにくくなります。
x が増えると y が減るものは反比例ですか？
そうとは限りません。y = 1000 − x のように、x が増えると y が減っても x × y が一定でなければ反比例ではありません。
反比例のグラフはどんな形ですか？
2つのなめらかな曲線（双曲線）です。比例定数が正なら右上と左下、負なら左上と右下にあり、原点や x 軸・y 軸とは交わりません。
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