予想問題・数学

数学 平行と合同・図形の証明の予想問題5問——錯角・合同条件・証明の根拠を図で1問ずつ解説

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平行と合同・図形の証明は、角の関係や合同条件の「根拠」を正しく言えるかが問われる単元です。平行線と錯角、多角形の内角、合同条件の選び方、証明の空らん、二等辺三角形の底角の5問にしぼり、図を見ながら1問ずつ解説しました。図はこの記事のための自作です。作図は → 作図の予想問題。

この5問でおさえるポイント
  • 平行線では、同位角・錯角が等しい（折れ曲がりは補助線で錯角に分ける）
  • n角形の内角の和は 180°×(n－2)、外角の和はいつも360°
  • 合同条件：3組の辺／2組の辺とその間の角／1組の辺とその両端の角
  • 証明では、仮定と「対頂角」「共通な辺」などの根拠を書く
  • 二等辺三角形の底角は等しい

問題（まず自分で解いてみよう）

  1. 図で、ℓ∥m です。点Pは2直線のあいだにあり、ℓ上の点AとPを結ぶ線とℓのつくる角が40°、m上の点BとPを結ぶ線とmのつくる角が30°です。∠APB の大きさ x を求めなさい。ℓmABP40°30°x
  2. 図は正八角形です。正八角形の内角の和と、1つの内角の大きさをそれぞれ求めなさい。
  3. 図の△ABCと△DEFで、同じ印のついた辺や角は等しいとします。△ABC≡△DEF であることを示すときに使う合同条件を答えなさい。ABCDEF
  4. 図で、線分ACとBDは点Oで交わり、AO＝CO、BO＝DO です。△AOB≡△COD の証明の（ア）（イ）にあてはまる言葉を答えなさい。
    【証明】△AOBと△CODで、仮定より AO＝CO…①、BO＝DO…②。（ア）は等しいので ∠AOB＝∠COD…③。①②③より、（イ）がそれぞれ等しいので、△AOB≡△COD。ABCDO
  5. 図の△ABCは AB＝AC の二等辺三角形で、∠A＝40° です。∠B の大きさ x を求めなさい。ABC40°x

目安：1問1〜2分。解き終わったら、下の「答えと解説を見る」を開いて確かめましょう。

答えと解説

問題1

図で、ℓ∥m です。点Pは2直線のあいだにあり、ℓ上の点AとPを結ぶ線とℓのつくる角が40°、m上の点BとPを結ぶ線とmのつくる角が30°です。∠APB の大きさ x を求めなさい。（図は上の問題を見てください）

答えと解説を見る

答え：x は70°です

考え方：平行な2直線のあいだに折れ曲がった点があるときは、点Pを通りℓ、mに平行な直線をひきます。すると、錯角を使って角を2つに分けて考えられます。

解き方：Pを通りℓに平行な直線をひくと、∠APB はこの直線で上下2つに分かれます。上の部分はℓとの錯角で40°、下の部分はmとの錯角で30°です。したがって x は40°と30°を合わせて 70° です。

よくあるミス：① 40°と30°の差の10°を答えるミス。折れ曲がった角は、両側の角の和になります。② 180°から引いて110°と答えるミス。補助線を引いて、錯角が等しいことを使います。

確かめ：図の点の位置から角度を計算すると、∠APB は70°になっています。上下の錯角を合わせた値と一致することで確かめられます。

問題2

図は正八角形です。正八角形の内角の和と、1つの内角の大きさをそれぞれ求めなさい。（図は上の問題を見てください）

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答え：内角の和は1080°で、1つの内角は135°です

考え方：n角形の内角の和は 180°×(n－2) で求められます。正多角形はすべての内角が等しいので、内角の和を頂点の数でわれば1つの内角が出ます。

解き方：八角形は1つの頂点から対角線をひくと6つの三角形に分けられるので、内角の和は180°の6倍で 1080° です。正八角形の1つの内角は、1080°を8でわって 135° です。

よくあるミス：① 180°×8 として1440°と答えるミス。分けられる三角形の数は、頂点の数より2少ないです。② 外角の和と混同するミス。多角形の外角の和は、何角形でも360°です。

確かめ：外角を使うと、正八角形の1つの外角は360°を8でわって45°です。1つの内角は180°から45°を引いて135°になり、答えと一致します。

問題3

図の△ABCと△DEFで、同じ印のついた辺や角は等しいとします。△ABC≡△DEF であることを示すときに使う合同条件を答えなさい。（図は上の問題を見てください）

答えと解説を見る

答え：「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」です

考え方：三角形の合同条件は、①3組の辺がそれぞれ等しい、②2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい、③1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい、の三つです。

解き方：図から AB＝DE、BC＝EF、∠B＝∠E が分かります。∠Bは辺ABと辺BCのあいだの角、∠Eも辺DEと辺EFのあいだの角です。したがって合同条件は2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいです。

よくあるミス：① 等しい角が辺のあいだにあるかを確かめずに選ぶミス。角が2辺のあいだにないと、この条件は使えません。② 相似条件と混同するミス。合同条件は辺の長さそのものが等しいことを使います。

確かめ：∠Bをはさむ2辺はABとBC、∠Eをはさむ2辺はDEとEFで、印のついた辺とぴったり一致しています。等しい角が等しい2辺のあいだにあることで確かめられます。

問題4

図で、線分ACとBDは点Oで交わり、AO＝CO、BO＝DO です。△AOB≡△COD の証明の（ア）（イ）にあてはまる言葉を答えなさい。
【証明】△AOBと△CODで、仮定より AO＝CO…①、BO＝DO…②。（ア）は等しいので ∠AOB＝∠COD…③。①②③より、（イ）がそれぞれ等しいので、△AOB≡△COD。（図は上の問題を見てください）

答えと解説を見る

答え：（ア）は「対頂角」、（イ）は「2組の辺とその間の角」です

考え方：証明では、仮定（問題で与えられたこと）と、図から分かる性質（対頂角、共通な辺など）を組み合わせて合同条件を満たします。

解き方：∠AOBと∠CODは、2本の線分が交わってできる向かい合った角なので対頂角で、等しくなります。AO＝CO、BO＝DO の2組の辺と、そのあいだの角∠AOB＝∠COD がそろうので、合同条件は2組の辺とその間の角です。

よくあるミス：① （ア）に「錯角」と書くミス。錯角は平行線があるときに使う言葉です。ここは交わった2直線の向かい合う角なので対頂角です。② （イ）に「3組の辺」と書くミス。ABとCDの長さは仮定にないので使えません。

確かめ：③の角∠AOBは辺AOと辺BOのあいだ、∠CODは辺COと辺DOのあいだにあります。①②の辺のあいだの角になっているので、合同条件が正しく使えていると確かめられます。

問題5

図の△ABCは AB＝AC の二等辺三角形で、∠A＝40° です。∠B の大きさ x を求めなさい。（図は上の問題を見てください）

答えと解説を見る

答え：x は70°です

考え方：二等辺三角形の底角は等しいです。AB＝AC のとき、底角は∠Bと∠Cです。

解き方：三角形の内角の和は180°なので、∠Bと∠Cの和は180°から40°を引いて140°です。∠B＝∠C なので、x は140°の半分で 70° です。

よくあるミス：① 頂角と底角を取りちがえ、∠Bを40°と考えるミス。等しい2辺にはさまれた角が頂角で、残りの2つが底角です。② 180°から40°を引いた140°をそのまま答えるミス。140°は2つの底角の和です。

確かめ：40°、70°、70°の3つの角を合わせると180°になり、三角形の内角の和と一致します。2つの底角も等しくなっていることで確かめられます。

平行と合同・図形の証明のまとめ表

きまり内容この記事の問題
平行線と角平行線の同位角・錯角は等しい問題1
多角形の角内角の和は 180°×(n－2)、外角の和は360°問題2
三角形の合同条件3組の辺／2組の辺とその間の角／1組の辺とその両端の角問題3・4
対頂角交わる2直線の向かい合う角は等しい問題4
二等辺三角形2つの底角は等しい問題5

迷ったときの手順

  1. 図に、問題で等しいと分かっている辺や角の印を書きこむ
  2. 平行線があれば同位角・錯角、交わる直線があれば対頂角をさがす
  3. 合同を示すときは、等しい辺と角がどの合同条件にあてはまるかを確かめる
  4. 角が2辺のあいだにあるか、辺が2角の両はしにあるかを必ず見る
  5. 答えが出たら、三角形の内角の和180°などで確かめる

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よくある質問

三角形の合同条件は何がありますか？

3組の辺がそれぞれ等しい、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい、の三つです。

多角形の内角の和はどう求めますか？

n角形は1つの頂点から対角線をひくと（n－2）個の三角形に分けられるので、180°×(n－2)で求めます。

証明でよく使う根拠は何ですか？

仮定のほか、対頂角は等しい、平行線の錯角・同位角は等しい、共通な辺や角、二等辺三角形の底角は等しい、などがよく使われます。

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