数学 円周角の予想問題5問——円周角の定理を図で1問ずつ解説

答え：∠APB は55°です

考え方：1つの弧に対する円周角は、その弧に対する中心角の半分です（円周角の定理）。

解き方：∠APB は弧AB（Pをふくまない側）に対する円周角、∠AOB は同じ弧ABに対する中心角です。中心角が110°なので、円周角はその半分で 55° です。

よくあるミス：① 中心角と同じ110°と答えるミス。円周角は中心角の半分です。② どの弧に対する角かを確かめずに計算するミス。円周角と中心角は、同じ弧に対するものどうしでくらべます。

確かめ：求めた55°を2倍すると110°になり、問題の中心角と一致します。円周角の2倍が中心角になっていることで確かめられます。

答え：x は76°です

考え方：円周角の定理を逆向きに使います。中心角は、同じ弧に対する円周角の2倍です。

解き方：∠ACB と ∠AOB は、どちらも弧AB（Cをふくまない側）に対する角です。円周角が38°なので、中心角はその2倍で 76° です。

よくあるミス：① 半分にして19°と答えるミス。中心角から円周角を求めるときは半分、円周角から中心角を求めるときは2倍です。② 中心角を「360°から引いた角」と考えるミス。ここではCをふくまない側の弧に対する中心角を求めます。

確かめ：76°の半分は38°で、問題の円周角と一致します。中心角と円周角の関係が成り立っていることで確かめられます。

答え：x は56°です

考え方：直径に対する円周角は90°です。直径ABに対する中心角は180°なので、円周角はその半分の90°になります。

解き方：ABは直径なので ∠ACB＝90° です。△ABC の内角の和は180°なので、∠ABC は180°から90°と34°を引いて 56° です。

よくあるミス：① ∠ACB が90°であることに気づかず、角が1つしか分からないと考えて手が止まるミス。直径を見つけたら直角と覚えます。② 34°を2倍して68°と答えるミス。34°は中心角を求める問題ではなく、三角形の角として使います。

確かめ：△ABC の3つの角は34°、90°、56°で、合わせると180°になります。三角形の内角の和と一致することで確かめられます。

答え：x は47°です

考え方：同じ弧に対する円周角は、すべて等しいです。円周角がいくつあっても、同じ弧を見ていれば大きさは同じになります。

解き方：∠ADB と ∠ACB は、どちらも弧AB（C、Dをふくまない側）に対する円周角です。したがって ∠ACB は ∠ADB と等しく 47° です。

よくあるミス：① 点の位置がちがうので大きさもちがうと考えるミス。円周上のどこに頂点があっても、同じ弧に対する円周角なら等しくなります。② 2倍して94°と答えるミス。2倍になるのは中心角のときです。

確かめ：弧ABに対する中心角を考えると、47°の2倍で94°です。∠ACB も同じ弧に対する円周角なので、94°の半分の47°になり、答えと一致します。

答え：x は30°です

考え方：円周を等分した問題では、まず1つ分の弧に対する中心角を求めます。円周角は弧の長さに比例するので、弧がいくつ分かで角が決まります。

解き方：円の中心角は全部で360°なので、12等分した1つ分の弧に対する中心角は30°です。弧ABは2つ分なので、中心角は60°です。∠ACB はその半分で 30° です。

よくあるミス：① 1つ分の弧に対する円周角を30°と考えるミス。360°を12でわった30°は中心角で、円周角はその半分の15°です。② 弧の数を数えまちがえるミス。点と点の間の弧の数を数えます。

確かめ：1つ分の弧に対する円周角は15°なので、2つ分では30°になります。中心角から求めた答えと一致することで確かめられます。

1つの弧に対する円周角は、その弧に対する中心角の半分です。逆に、中心角は円周角の2倍になります。

直径に対する中心角は180°なので、円周角はその半分の90°になるからです。

どの円周角も、同じ弧に対する中心角の半分になるからです。中心角が同じなので、円周角もすべて等しくなります。